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  • Obermaterial: Leder
  • Innenmaterial: Fleece
  • Absatzhöhe: 1|centimeters
  • Schuhweite: weit
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In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Der sog. absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag, ist immer eine nichtnegative Zahl, also größer oder gleich Null.

Schreibweisen: f(x)=|x| oder f(x)=abs(x) .

Schreibweisen:

Für eine beliebige reelle Zahl x gilt:

\begin{align*} |x| = \left\{ \begin{array}{ll} x, \ x \geq 0 \\ -x, \ x < 0 \end{array}\right. . \end{align*}

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Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis b ), wenn sie die Form

\begin{align*} f(x) = b^x, \quad x \in \mathbb{R} \end{align*}

aufweist, wobei b eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls b = e ist, spricht man im Allgemeinen von „der“ e -Funktion. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl e\approx 2,72 – eine ganz normale irrationale Zahl wie z.B. die Kreiszahl \pi .

Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an einen Potenzausdruck, wobei die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird! Zur Vereinfachung bei Funktionsuntersuchungen lässt sich jede Exponentialfunktion mit der Form f(x)=b^x als e -Funktion darstellen. Es gilt:

\begin{align*} b^x = e^{\ln(b)\cdot x} \end{align*}

Für den Fall das b=e ist, gilt als Folge der Potenzgesetze für die e -Funktion:

\begin{align*} e^0=1, \ \ e^1=e, \ \ e^x \cdot e^y = e^{x+y} \end{align*}

Eine Funktion heißt Logarithmusfunktion (zur Basis a ), wenn sie allgemein die Form

\begin{align*} f(x) = \log_a(x), \ x \in (0,\infty) \end{align*}

aufweist, wobei a eine beliebige positive Konstante bezeichnet.

In den speziellen Fällen a = e und a = 10 spricht man von

In der Regel rechnen wir aber mit dem natürlichen Logarithmus. Falls aber mal der Fall auftreten sollte, dass kein natürlicher Logarithmus vorliegt, kann dieser mit einfachen Mitteln wie folgt umgeschrieben werden:

\begin{align*} log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)} \end{align*}

Ein weiterer nützlicher Zusammenhang ist

\begin{align*} e^{\ln(x)}=x \ \textrm{bzw.} \ \ln(e^x)=x, \end{align*}

der im Bereich„Lösen von Gleichungen“ äußerst wichtig ist.

Logarithmengesetze

\begin{align*} \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \\ \ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b) \\ \ln(a^b)=b\cdot \ln(a) \end{align*}

Auch Graphentransformation genannt. Idee: Aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W sollen die Graphen „neuer“ Funktionen g(x) mit dem Definitionsbereich D_g und dem Wertebereich W_g durch einfache Operationen gewonnen werden.

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Von Frank Christiansen, dpa

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: Düsseldorf (dpa) - Das Düsseldorfer Oberlandesgericht hat den ehemaligen Kunstberater und Millionenbetrüger Helge Achenbach zu 16,1 Millionen Euro Schadenersatz verpflichtet.
Millionen-Urteil gegen Ex-Kunstberater Helge Achenbach. Foto: David Young

Düsseldorf (dpa) - Das Düsseldorfer Oberlandesgericht hat den ehemaligen Kunstberater und Millionenbetrüger Helge Achenbach zu 16,1 Millionen Euro Schadenersatz verpflichtet.

Das Gericht reduzierte dabei am Donnerstag die Forderungen der Familie des gestorbenen Aldi-Erben Berthold Albrecht gegen Achenbach um 2,6 Millionen Euro. Eine Revision ließen die Richter nicht zu.

Achenbach hatte den 2012 gestorbenen Berthold Albrecht beim Kauf von Kunst und Oldtimern durch versteckte Preisaufschläge betrogen. Der heute 66-Jährige habe das «tiefe Vertrauen» Albrechts ausgenutzt, befand das Gericht. Achenbach habe sogar Rechnungen manipuliert, um sein Vorgehen zu verschleiern.

Der Kunstsammler deutete an, dass er die Forderung voraussichtlich nicht wird begleichen können. «Mein Vermögen hätte gereicht, der Familie Albrecht den Schaden zu erstatten», sagte Achenbach am Donnerstag der Deutschen Presse-Agentur. Doch durch das Insolvenzverfahren seien Millionenwerte vernichtet worden. Immobilien seien weit unter Wert abgewickelt worden und Oldtimer verschwunden. Mit den Schulden müsse er nun leben: «Das hängt 30 Jahre an mir wie ein Wackerstein.»

Er jammere aber nicht, sei in seiner neuen Rolle sogar glücklich und zufrieden. «Ich kümmere mich nun um Menschen, denen es noch viel schlechter geht», sagte er. Achenbach will nun politisch verfolgten Künstlern helfen.

Vor vier Jahren war die Welt des Helge Achenbach noch in Ordnung. Da hatte er das WM-Quartier der deutschen Nationalelf in Brasilien mit Kunst ausgestattet, die Mannschaft war auf dem Weg zum WM-Titel. Doch bei seiner Rückkehr aus Brasilien wurde Achenbach festgenommen und der Skandal nahm seinen Lauf.

Deutschlands bekanntester Kunstberater wurde zu sechs Jahren Haft verurteilt. Erst vor wenigen Wochen kam er nach Verbüßung von zwei Dritteln der Strafe auf freien Fuß. Seine Firmen gingen mit dem Skandal pleite. Rund 2500 Kunstwerke aus ihrem Bestand wurden in mehreren Auktionen zwangsversteigert.

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Kulinarische Highlights, malerische Kellergassen und gesellige Weinfeste – das Weinviertel ist ein Ort zum Erholen, Entdecken und Genießen.

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Der Weg ist das Ziel: Jakobsweg Weinviertel

Der erhabenen Ruhe der Region des Weinviertels können die Hektik und das rasante Lebenstempo der Gegenwart nichts anhaben. Im Weinviertel herrscht Gelassenheit und diese lässt sich besonders gut mit genussvoller Kulinarik verbinden.

Im Nordosten Österreichs gelegen, ist das Weinviertel mit einer Weinanbaufläche von mehr als 13.000 ha Österreichs größter Weingarten. Kein Wunder also, dass sich hier Wein in allen Facetten erleben und genießen lässt - im Glas ebenso wie auf einer Radtour entlang spezieller Weinradwege oder in den Kellergassen, dem Markenzeichen des Weinviertels.

Mit direkter Anbindung an die Donau, zahlreichen Weinorten und bekannten Sehenswürdigkeiten wie der Burg Kreuzenstein, zeigt sich das Weinviertel hier von einer ganz besonderen Seite.

Das Retzer Land mit Erlebniskeller und Windmühle gibt es in dieser Region ebenso zu entdecken wie das Konzerthaus in Ziersdorf oder die vielfältigen Kellergassen des Pulkautals.

Der Osten des Weinviertels umschließt das Land um Laa mit der einzigen Therme der Region, das Weinviertler Dreiländereck, die Leiser Berge mit dem Buschberg, der höchsten Erhebung des Weinviertels, sowie die Landschaft der March-Thaya-Auen.

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Stand: Mai 2018

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